m
Předchozí CERMAT M9-25-PAD - 11Další

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZKY K ÚLOZE 11
Základní kvádr má délky hran 1 cm, 2 cm a 3 cm.

Každé z následujících těles bylo slepeno ze dvou základních kvádrů.
Čtyřboké hranoly jsou označeny písmeny M, N a další tělesa písmeny P, Q, R.

(CZVV)

Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1–11.3), zda je
pravdivé (A), či nikoli (N).

11.1 Součet délek všech hran jednoho základního kvádru je 24 cm.
11.2 Povrchy hranolů M a N se liší o 6 cm2.
11.3 Všechna tři tělesa P, Q, R mají stejný povrch.

Řešení:

Správná odpověď:

A;A;A

Postup:

Matěj Zelenka

11.1 Součet délek všech hran jednoho základního kvádru je 24 cm.
Kvádr má 12 hran, které se dělí do tří skupin:   
- 4 hrany délky (1 cm),  
- 4 hrany šířky (2 cm),  
- 4 hrany výšky (3 cm).
Součet délek všech hran je tedy:   
$$
4 \cdot (1+2+3) = 4 \cdot 6  = 24 cm
$$
Tvrzení je tedy pravdivé.

11.2 Povrchy hranolů M a N se liší o 6 cm2.
Nejprve si jednotlivé strany označíme. Třeba takto:
U tělesa M jsou tyto kvádry slepeny stranou C, zatímco u tělesa N stranou A.
Chceme-li vypočítat o kolik se liší, musíme zjistit, jaký je povrch slepených částí.
V případě tělesa M je to dvojnásobek strany C.
$$
2 \cdot C = 2 \cdot 3 \cdot 1 = 6 cm^{2 }
$$
V případě tělesa N je to dvojnásobek strany A.
$$
2 \cdot A = 2 \cdot 3 \cdot 2 = 12 cm^{2 }
$$
To o kolik se liší je vlastně jejich rozdíl:
$$
12 - 6 = 6cm^2
$$
Tvrzení je tedy pravdivé.

11.3 Všechna tři tělesa P, Q, R mají stejný povrch.
Využijeme stejné značení stran.
Řešení je ve skutečnosti vyditelné na první pohled z obrázku.
U tělesa P je pravý kvádr přilepen stranou B.
U tělesa R také.
A u tělesa Q je přilepena plocha o rozměru stany B, protože strana B je omezena hranami 1 cm a 2 cm, což platí i pro tuto slepenou část.

Tvrzení je tedy pravdivé.