Přihlásit se

Matika Hravě k přijímačkám.

Přijímačky na střední školu

Matika Hravě k přijímačkám.

m
CERMAT M9-25-PAD - 16

← Zpět na úlohy z m

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 16
Vytváříme tmavé a světlé obrazce tvaru čtverce jako na obrázku.
Každý takový obrazec obsahuje jeden bílý čtverec obklopený pásem z několika shodných obdélníčků. Každý obdélníček má rozměry 2 cm a 3 cm.
Obdélníčky jsou buď tmavé (na obrázku vlevo), nebo světlé (na obrázku vpravo) a jsou natočeny tak, že pás z tmavých obdélníčků je vždy užší než pás ze světlých obdélníčků.
Obrazec se popisuje třemi čísly. První číslo udává počet obdélníčků v obrazci, další dvě čísla udávají v cm délku strany bílého čtverce v obrazci a délku strany celého obrazce.
(CZVV)


16.1 Délka strany tmavého obrazce je 20 cm.
Určete počet obdélníčků v obrazci.

16.2 Délka strany tmavého i světlého obrazce je 23 cm.
Určete, o kolik se liší počet obdélníčků v těchto dvou obrazcích.

16.3 Tmavý i světlý obrazec mají stejný počet obdélníčků, ale délky stran bílých čtverců v těchto obrazcích se liší o 10 cm.
Určete počet obdélníčků v tmavém obrazci.

Řešení:

Správná odpověď:C

Postup:

Matěj Zelenka
16.1 Délka strany tmavého obrazce je 20 cm.
Určete počet obdélníčků v obrazci.

Víme délku strany čtverce, rozdělíme si tedy pás a s ním i počet obdélníčků na 4 části:

Nyní budeme uvařovat jen jednu stranu. Každá strana čtverce má jednu část (jednu čtvrtinu) pásu plus kratší stanu obdélníčku jiné části. Odečteme ji:
$$
20 - 2 = 18 \text{ cm}
$$
Nyní víme, že na jednu délku části pásu nám připadá 18 cm a každá délka části pásu je složena z delší hrany obdélníčku. Když vydělíme délku části pásu délkou delší hrany obdélníčku, dostaneme počet obdélníčku na jednu číst pásu:
$$
\frac{18}{3} = 6 \text{ obdélníčků}
$$
Teď už stačí jen vynásobit čtyřmi částmi pásu a máme výsledek:
$$
6 \cdot 4 = 24
$$

Výsledek: 24 obdélníčků


16.2 Délka strany tmavého i světlého obrazce je 23 cm. Určete, o kolik se liší počet obdélníčků v těchto dvou obrazcích.

Pokud je délka strany světlého obrazce 23 cm, pak strana bílého čtverce je $23 - 2 \cdot 3 = 17$ cm (pás obdélníčků má šířku 3 cm na obě strany). Obsah celého čtverce je $23^2 = 529$ cm², obsah bílého čtverce je $17^2 = 289$ cm². Obsah oblasti s obdélníčky je $529 - 289 = 240$ cm². Počet obdélníčků je $240 / 6 = 40$. Rozdíl mezi počtem obdélníčků ve tmavém a světlém obrazci je $50 - 40 = 10$.

Výsledek: Rozdíl počtu obdélníčků je 10.

16.3 Tmavý i světlý obrazec mají stejný počet obdélníčků, ale délky stran bílých čtverců v těchto obrazcích se liší o 10 cm. Určete počet obdélníčků v tmavém obrazci.

Postup:
Víme, že délky stran bílých čtverců se liší o 10 cm. Označme délku strany bílého čtverce ve tmavém obrazci jako $x$ cm a ve světlém obrazci jako $x + 10$ cm. Délka strany celého obrazce je $x + 2 imes 3 = x + 6$ cm (pás obdélníčků má šířku 3 cm). Obsah oblasti s obdélníčky ve tmavém obrazci je $(x + 6)^2 - x^2 = 12x + 36$ cm². Počet obdélníčků je $(12x + 36) / 6 = 2x + 6$.

Ve světlém obrazci je délka strany bílého čtverce $x + 10$ cm, délka strany celého obrazce je $(x + 10) + 6 = x + 16$ cm. Obsah oblasti s obdélníčky je $(x + 16)^2 - (x + 10)^2 = 2(2x + 16)(x + 10)$. Počet obdélníčků je $(2(2x + 16)(x + 10)) / 6 = (2x + 16)(x + 10)/3$.

Protože počet obdélníčků je stejný, rovnice je $2x + 6 = (2x + 16)(x + 10)/3$. Řešením této rovnice získáme $x = 4$ cm. Počet obdélníčků je $2 imes 4 + 6 = 14$.

Výsledek: Počet obdélníčků v tmavém obrazci je 14.
Komentáře/hodnocení